УДК 519.852

ОБ ОПТИМИЗАЦИИ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ПРЕДПРИЯТИЯ С УЧЕТОМ НЕКОТОРЫХ РЫНОЧНЫХ ТРЕБОВАНИЙ

ABOUT OPTIMIZATION OF ENTERPRISE ACTIVITIES TAKING INTO ACCOUNT SOME MARKET REQUIREMENTS

Старкова Екатерина Олеговна, Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Научный руководитель: Севодин Михаил Алексеевич, кандидат физико-математических наук, доцент, Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Starkova E.O.

Scientific adviser: Sevodin M.A.

Аннотация: В статье приводится специальный случай оптимизации деятельности предприятия, решившего ориентироваться на рынок с известными ограничениями по объему спроса на некоторые выпускаемые товары. Рассматривается производственная задача линейного программирования. Предполагается, что найденное оптимальное решение данной задачи может не удовлетворять рынку потребительского спроса. В таком случае предлагается искать оптимальный план производства таким, чтобы его пропорции были как можно ближе к рыночным пропорциям. В результате появляется группа неравенств, которая определяет принадлежность решения задачи многогранному выпуклому конусу. Для решения такой задачи рекомендуется перенести задачу в пространство новых переменных, что приводит к упрощению нахождения решения. В заключении рассматривается связь между производственной задачей линейного программирования с ограничениями конусного типа и парой двойственных к ней задач.

Summary: The article presents a special case of optimizing the activities of an enterprise that has decided to focus on the market with well-known restrictions on the volume of demand for some manufactured goods. The production problem of linear programming is considered. It is assumed that the optimal solution found for this problem may not satisfy the consumer demand market. In this case, it is proposed to seek an optimal production plan so that its proportions are as close as possible to market proportions. As a result, a group of inequalities appears, which determines whether the solution to the problem belongs to a polyhedral convex cone. To solve such a problem, it is recommended to transfer the task to the space of new variables, which leads to a simplification of finding a solution. In conclusion, we consider the relationship between the production problem of linear programming with cone-type constraints and a pair of dual problems to it.

Ключевые слова: ограничения конусного типа, линейное программирование, двойственность.

Keywords: cone constraints, linear programming, duality.

Введение. С непрерывным развитием экономики число отраслей постоянно растет, и возникают новые рынки. Вследствие чего появляются все больше новых предприятий, которые желают доминировать в конкретном сегменте, получать максимальную прибыль. И для того, чтобы прочно удерживать позиции сбыта на рынке своей продукции или, по меньшей мере, сохранить свой бизнес в условиях конкуренции, предпринимателям необходимо эффективно управлять персоналом и производственным процессом. Другими словами, требуется вносить в работу предприятий необходимые изменения, которые обеспечили бы им наибольшую эффективность в заданных условиях. Поэтому каждое предприятие, прежде чем преступать к производству продукции, рассматривает процесс оптимизации системы сбыта продукции с целью выработать верную сбытовую стратегию.

И из этого возникает потребность в построении моделей, поиске новых идей и вариантов решений различных производственных задач, которые бы учитывали не только внутренние требования предприятия (например, количество персонала, имеющийся запас ресурсов), но и внешние факторы, влияющие на сбыт произведенной продукции. Одним из таких факторов является состояние спроса на товар, которое определяет стратегию предприятия и диктует изменения в механизме его управления.

Рассмотрим случай, когда предприятие при разработке плана производства решило ориентироваться на требования рынка спроса на два товара. Пусть имеется предприятие по выпуску n продуктов z=(z₁,…,z_n)^t, которое использует m ресурсов x=(x₁,…,x_m)^t в ходе производства [1]. Нормы расхода ресурсов на производство одного продукта каждого вида и цены единиц продукции представлены соответственно в матрице

и векторе c=(c₁,…,c_n)^t. Предприятие желает составить такой план производства, который бы приносил максимальный доход.

Математическая модель поставленной задачи имеет вид:

Обозначим через «t» знак транспонирования.

Однако найденный оптимальный план z_* задачи (1) может содержать результаты, противоречащие рынку потребительского спроса.

План выпуска должен составляться на основе сложившейся ситуации на рынке спроса. Для предприятий спрос — это количество продукции, которое они могут продать на рынке данный момент времени и, следовательно, должны произвести в запланированный период. В процессе планирования производства и сбыта продукции должен достигаться компромисс между рынком спроса и производителем, желающим получить максимальный доход. Для этого помимо расчета норма расхода ресурсов и установления цен на выпускаемую продукцию следует изучить предпочтения и вкусы потребителей, оценить степень удовлетворения спроса, поскольку планирование производства должно удовлетворять потребностям покупателей, заказчиков и потребителей. Предположим, что при разработке плана сбыта продукции предприятие, описанное моделью (1), решило ориентироваться на рынок с определенными ограничениями по объему спроса на товары, а именно на рынок, диктующий ограничения на два продукта z_i и z_j.

Пусть в результате анализа рыночного спроса потребителя на продукции z_i и z_j было выдвинуто следующее ограничение:

Понятно, что предприятию может быть совершенно не выгодно выпускать свою продукцию в тех пропорциях, которые требует рынок. В таком случае, необходимо найти оптимальный план выпуска продукции вблизи пропорции

Для этого потребуем, чтобы производство отклонялось от рыночной пропорции, например, не больше 10%, т.е. чтобы ориентировалось на ограничение

Это неравенство эквивалентно ограничению:

С учетом (2) задачу (1) можно записать в следующем виде:

Оптимальный план задачи (3) ищется таким, чтобы его пропорции оказались максимально близкими к рыночным пропорциям. Рассмотрим плоскость Oz_iz_j (рисунок 1). Заштрихованная область представляет собой конус, построенный по ограничениям

которые назовем ограничениями конусного типа. Легко заметить, что эта группа неравенств определяет принадлежность решения задачи (1) многогранному выпуклому конусу, который обозначим как конус T.

Получилось следующие: для того, чтобы найти решение задачи (1) – (2), необходимо ориентироваться на вектор z=(z₁,…,z_i,…,z_j,…z_n)=(0,…k,…,1,…,0), и искать решение вблизи этого вектора. Т.е. искать решение в конусе T, содержащем этот вектор.

Для переноса задачи в конус необходимо найти матрицу перехода P [2] и уже с помощью нее перейти в новую систему координат, базисом которой будет выступать вектора, сонаправленные образующим многогранного выпуклого конуса T. Две толстые стрелки на графике как раз показывают новый базис задачи (1) — (2).

Составим матрицу перехода P по новому набору образующих конус векторов e₁^’,…,e_n^’ [2]:

— матрица перехода в конус T.

Тогда задача в конусе примет вид:

причем количество ограничений у (4) будет меньше, чем у исходной задачи (3). Эта задача описывает некоторое фиктивное (несуществующее) предприятие, у которого  рассчитанные нормы расхода ресурсов и цены на продукцию обеспечивают нахождение оптимального плана задачи (3), соответствующего реальному положению дел на рынке спроса продуктов z_i и z_j. Доход фиктивного предприятия все также равен доходу исходного предприятия, а его план выпуска продукции z^’ связан с исходным планом z следующими выражениями:

По сравнению с исходным предприятием (3) у фиктивного предприятия (4) увеличилось количество ресурсов, необходимых для производства единицы i-ой и j-ой продукции. Расход ресурсов x₁,…,x_m на производство единицы продукции z_i^’ возрос в сумме на величину

а на производство единицы z_j^’ — на величину

Из-за увеличения норм расходов ресурсов i-ой и j-ой продукции возросли издержки на производство этих двух продуктов. А это ведет за собой увеличение стоимости единицы z_i^’ и z_j^’товаров на величины (1,1k-1)c_i+c_j и 0,9kc_i соответственно. Более того, цена z_i^’-го товара стала больше цены z_j^’-го товара на 0.2kc_i. Это объясняется тем, что продукт z_i^’ более востребован, чем продукт z_j^’, что видно из условия

С учетом (5) получилось, что фиктивное предприятие (4) выпускает продукцию вида z₁,z₂,…, z_i^’,…, z_i^’,…,z_n, где товары z_i^’, z_i^’ имеют более высокую цену по сравнению с z_i и z_i, и на их производство расходуется больше ресурсов, чем на z_i и z_i. При чем, т.к. количество ресурсов x₁,…,x_m у (4) остается тем же, что и у предприятия (3), то количество выпускаемой продукции z_i^’ и z_i^’ будет меньше z_i и z_i соответственно.

Построим двойственные задачи к задачам (3) и (4). У двойственной задачи к задаче (3)

Будет m+2 переменных и n ограничений, причем переменные

отвечающие за конусные ограничения

соответственно, встречается только 2 раза – в i-ом и j-ом неравенствах двойственной задачи.

Если же посмотреть на двойственную задачу к задаче (4)

то она отличается от предыдущей только i-ым и j-ым неравенствами. Назовем такую задачу T-двойственной к прямой задаче (3). У T-двойственной задачи будет уже только m переменных, т.к. переходя в конус, задача (3) отбрасывает свое ограничение (2), следовательно, будут отсутствовать отвечающие за него переменные

Оптимальные теневые цены ресурсов x=(x₁,…,x_m)^t исходного и фиктивного предприятия будут совпадать, т.к. решения двойственной и T-двойственной задач равны друг другу: y_*= y_*^’. Это можно доказать, если рассмотреть теоремы и следствия для прямой (3) и T-двойственной задач [3]. Тогда вектора предельных полезностей обоих предприятий также равны друг другу: MU(x)=MU^’(x), где MU(x)=(MU₁(x),…,MU_m(x)) — вектор предельных полезностей предприятия (3); MU^’(x)= (MU₁^’(x),…,MU_m^’(x)) — вектор предельных полезностей фиктивного предприятия (4). Помимо этого, переход задачи (3) в конус T не влияет значение предельной нормы замещения.

В заключение сделаем некоторые выводы. Каждое предприятие стремится предложить товары на рынке, которые бы наилучшим образом удовлетворяли спрос потребителя. Такое стремление к полному удовлетворению потребностей есть один из немногих способов захвата большого сегмента рынка, получения максимально возможной прибыли, поддержания конкурентоспособности предприятия [4].

Очевидно, что рынок спроса диктует свои условия, и для предприятия может быть совершенно не выгодно выпускать товары в тех пропорциях, в которых требует рынок. В таком случае, чтобы укрепить свою позицию на рынке и получить максимальную прибыль, предприятие стремится найти оптимальный план производства вблизи пропорций, диктуемых рынком. На этом основании у задачи появляются новые, задающие многогранный конус, ограничения, по которым следует перенести задачу в новое пространство, благодаря чему возникает некоторое фиктивное предприятие. В заключении рассматривается пара двойственных задач и показывается, что некоторые экономические характеристики производственного процесса не меняются при переходе в новое пространство.

Список использованных источников

1. Альсевич, В.В. Введение в математическую экономику. Конструктивная теория: Учебное пособие. – М.: Едиториал УРСС, 2005. – 256 с.
2. Севодин, М.А., Старкова, Е.О. О производственной задаче с ограничениями конусного типа // Московский экономический журнал, 2018 №5 (3) – С. 378-388.
3. Струченков, В.И. Методы оптимизации в прикладных задачах / В.И. Струченков. – М.-Берлин: Директ-Медиа, 2015. – 433с.
4. Ярлыченко А. А., Готлиб Е. М., Ильичева Е. С. Принципы оценки конкурентоспособности продукции // Вестник Казанского технологического университета, 2012 №5.