В статье рассматривается математическая модель железнодорожного подвижного состава (преимущественно, грузового поезда). Движение подвижного состава по рельсам (процесс управления, торможение, выход в кривые участки пути и др.) изучается такой наукой, как динамика подвижного состава. Для этого используются математические модели, которые представляют собой системы уравнений, связывающих различные параметры подвижного состава. Математическая модель - это упрощенное описание реального явления или системы с использованием математических формул, уравнений и операций. С помощью этой системы можно в ускоренном режиме получить необходимую информацию о грузовом поезде.
Математическая модель, железнодорожный подвижной состав, грузовой поезд, математическая модель грузового поезда.
Железнодорожный подвижной состав — это рельсовые транспортные средства, предназначенные для обеспечения железнодорожных грузовых и пассажирских перевозок и функционирования железнодорожной инфраструктуры. Подвижной состав включает в себя локомотивы, грузовые вагоны, пассажирские вагоны локомотивной тяги, моторвагонный подвижной состав, а также различный специальный подвижной состав. Железнодорожный подвижной состав играет важную роль в развитии экономики, социальной сферы и экологии нашей страны.
С точки зрения экономики, обеспечивается эффективная и надежная перевозка больших объемов грузов по сравнительно низкой цене. Железнодорожный транспорт способствует развитию промышленности, сельского хозяйства, торговли и туризма. Железнодорожный подвижной состав также создает рабочие места и доходы для многих людей, связанных с его производством, эксплуатацией и обслуживанием.
С точки зрения социальной сферы, гарантируется комфортное и доступное путешествие для миллионов пассажиров. Железнодорожный транспорт способствует объединению разных регионов, культур и народов. Также оказывается существенное влияние на образование, науку, искусство и историю.
С точки зрения экологии, железнодорожный подвижной состав оказывает меньшее воздействие на окружающую среду, чем автомобильный транспорт. Данный вид транспорта потребляет меньше энергии, выбрасывает меньше загрязняющих веществ в атмосферу и шумит меньше. Железнодорожный транспорт также способствует сохранению природных ландшафтов, так как требует меньше земли для своей инфраструктуры, чем, к примеру, автомобиль. Он также использует возобновляемые источники энергии, такие как электричество и водород. Однако железнодорожный подвижной состав имеет некоторые негативные аспекты для экологии. Может нарушится биоразнообразие, что приведёт к возникновению барьеров для миграции животных и растений. Железнодорожный транспорт также может вызывать эрозию почвы, загрязнение воды отработанными маслами, топливом и отходами. Также может стать источником аварий и катастроф, которые могут привести к серьезным экологическим последствиям.
Математическая модель железнодорожного подвижного состава — это совокупность математических уравнений, описывающих поведение подвижного состава в различных режимах движения, взаимодействие с путевой конструкцией, тяговыми и тормозными устройствами, а также влияние различных факторов на безопасность и эффективность эксплуатации. Математические модели также учитывают взаимодействие подвижного состава с путевой конструкцией, которая состоит из рельсов, шпал, брусьев, грунта и других элементов. Путевая конструкция имеет свою жесткость, которая зависит от расстояния между шпалами и других факторов. Жесткость пути влияет на то, как подвижной состав преодолевает неровности и колеблется в вертикальном и горизонтальном направлениях.
Математическая модель железнодорожного подвижного состава может быть использована для решения различных задач, таких как:
- оптимизация параметров подвижного состава и пути для повышения скорости, уменьшения расхода энергии и износа колес и рельсов;
- анализ динамических нагрузок на подвижной состав и путь при прохождении кривых, переездов, стыков, неровностей и других неоднородностей;
- синтез и настройка систем управления тягой и торможением подвижного состава для обеспечения требуемого режима движения, соблюдения расписания и правил безопасности;
- исследование влияния различных факторов, таких как ветер, температура, влажность, осадки, снег, лед, песок, грязь и другие, на характеристики подвижного состава и пути;
- моделирование и прогнозирование аварийных ситуаций, таких как столкновения, сходы, заносы, проскальзывания, буксирование, замерзания и другие, а также разработка мер по их предотвращению и ликвидации.
Для построения математической модели железнодорожного подвижного состава необходимо учитывать следующие аспекты:
- геометрические и механические характеристики подвижного состава и пути, такие как длина, масса, жесткость, демпфирование, радиус кривизны, уклон, ширина колеи и другие;
- силы и моменты, действующие на подвижной состав и путь, такие как тяговая сила, тормозная сила, сила сопротивления движению, сила тяжести, центробежная сила, сила Кориолиса, сила ветра и другие (рис.1);
- кинематические и динамические связи между элементами подвижного состава и пути, такие как сцепление, буферное устройство, подвеска, тележка, колесная пара, рельс и другие;
- граничные и начальные условия, такие как положение, скорость, ускорение, угол поворота, угол наклона, угол крена и другие;
- режимы и параметры движения подвижного состава, такие как скорость, ускорение, торможение, расстояние, время, маршрут, расписание и другие.
Рис.1 Силы, действующие на железнодорожный подвижной состав
Математическая модель железнодорожного подвижного состава может быть построена на различных уровнях сложности, в зависимости от целей исследования и доступности исходных данных. В общем случае, модель состоит из трех основных блоков: модели локомотива, модели вагона и модели железнодорожного пути. Каждый блок может быть представлен в виде системы дифференциальных уравнений, связывающих переменные состояния (координаты, скорости, ускорения, силы, моменты и т.д.) и управляющие воздействия (тяговая сила, тормозная сила, сила сопротивления движению и т.д.).
Все внешние силы поезда суммируются и могут быть заменены одной силой F, называемой равнодействующей
F = Fk–Bk– 𝐿т (1.1)
Три режима ведения поезда, в том числе грузового состава, которые применяются при любом движении:
а) режим тяги:
Fт = Fk–Wk (1.2)
б) режим выбега:
Fв= -Wk (1.3)
в) режим торможения:
Fтор= -Wk–Bт (1.4)
Модель локомотива описывает динамику локомотива как твердого тела, имеющего шесть степеней свободы: три перемещения и три поворота относительно центра масс. Модель учитывает массу, моменты инерции, геометрические размеры, жесткость и демпфирование подвески, а также характеристики тягового привода и тормозной системы локомотива. Модель также учитывает взаимодействие локомотива с вагонами через сцепное устройство и с железнодорожным путем через колеса и рельсы⁵.
Модель вагона описывает динамику вагона как твердого тела, имеющего пять степеней свободы: два перемещения и три поворота относительно центра масс. Модель учитывает массу, моменты инерции, геометрические размеры, жесткость и демпфирование подвески, а также характеристики тормозной системы вагона. Модель также учитывает взаимодействие вагона с локомотивом и другими вагонами через сцепное устройство и с железнодорожным путем через колеса и рельсы.
Модель железнодорожного пути описывает динамику пути как упругой балки, имеющей две степени свободы: вертикальное и горизонтальное перемещение. Модель учитывает массу, жесткость, демпфирование и геометрические параметры пути, а также влияние подрельсового основания и грунта. Модель также учитывает взаимодействие пути с подвижным составом через контактные силы и моменты, возникающие в точках касания колес и рельс.
Связь между блоками модели осуществляется через граничные условия, которые выражают равенство перемещений, скоростей, ускорений, сил и моментов в точках сопряжения. Например, для связи между локомотивом и вагоном необходимо учитывать перемещения и силы в сцепном устройстве, а для связи между локомотивом и путем необходимо учитывать перемещения и силы в колесах и рельсах. Для решения системы уравнений модели можно использовать различные численные методы, такие как метод конечных элементов, метод конечных разностей, метод Рунге-Кутты и т.д.
В тяговых расчетах для упрощения движения поезда рассматривается как движение единого целого вдоль пути, пренебрегая колебаниями подвижного состава в вертикальном и поперечном направлениях, изменениями расстояния между вагонами и т. д. Эти упрощения позволяют рассматривать движение поезда как поступательное движение твердого тела вдоль пути с одной степенью свободы. Тогда физическая модель поезда может быть представлена как материальная точка, в которой сосредоточена масса всего поезда и к которой приложена равнодействующая всех сил, действующих на поезд. Расположение центра тяжести поезда принято в середине длины поезда. Из теоретической механики известно, что движение материальной точки с одной степенью свободы описывается дифференциальным уравнением первого порядка.
Рассмотрим режим тяги, в котором сила тяги Fk преодолевает силу сопротивления движению Wk и силу инерции Fi
Fk = Wk+Fi (2.1)
С учетом всех сил, получаем:
(2.2)
– это и есть основное уравнение движения поезда.
Математические соотношения, полностью характеризующие процесс движения поезда и являющиеся его математической моделью:
а) допущения:
– поезд является материальной точкой;
– напряжения на ТЭД и диаметры бандажей колесных пар локомотива неизменны и равны своим номинальным значениям;
б) уравнения:
(2.3)
(2.4)
где f – удельная равнодействующая сила поезда, Н/кН.
В общем случае:
f = fk--wk – kT*bT (2.4)
где kT – коэффициент реализации тормозной силы.
В режиме тяги:
f = fT - wi (2.5)
fT = fk - wo (2.6)
В режиме выбега:
f = fb - wi (2.7)
fT = - wox (2.8)
В режиме механического торможения:
– экстренного:
f = fмтэ - wi (2.9)
fмтэ = -bT - wox (2.10)
– служебного:
f = fмтсл - wi (2.11)
fмтсл = -0,5 bT - wox (2.12)
в) начальные условия:
to, Vo, So
г) ограничения:
Vo = min
Соотношения, а), б), в) и г) – это и есть математическая модель процесса движения грузового поезда.
Рис.2 Блок-схема вычисления основного уравнения движения поезда
Математическая модель подвижного состава имеет множество задач, связанных с анализом, оптимизацией, разработкой, тестированием и обучением в области железнодорожного транспорта. Некоторые из этих задач можно перечислить следующим образом:
- Анализ динамических качеств подвижного состава, таких как устойчивость, комфорт, безопасность, эффективность использования энергии и износ. Для этого используются различные критерии и показатели, такие как силы, деформации, напряжения, колебания, ускорения, скорости, температуры и другие. Математическая модель позволяет оценить влияние различных параметров подвижного состава, пути, режимов движения и внешних факторов на эти критерии и показатели, а также определить оптимальные значения этих параметров для достижения желаемых динамических качеств;
- Разработка новых видов подвижного состава, таких как скоростные поезда, метро, трамваи и другие. Для этого используются различные концепции и принципы, такие как аэродинамика, гибридизация, автоматизация, интеллектуализация и другие. Математическая модель позволяет проектировать и сравнивать различные варианты конструкций, систем и устройств подвижного состава, а также оценивать их эффективность, надежность, экономичность и экологичность;
- Тестирование подвижного состава на стендах, полигонах и в натурных условиях. Для этого используются различные методы и средства, такие как датчики, измерители, регистраторы, компьютеры и другие. Математическая модель позволяет моделировать и симулировать различные режимы и ситуации движения подвижного состава, а также сравнивать и согласовывать экспериментальные и теоретические данные, выявлять и устранять ошибки и несоответствия;
- Обучение и повышение квалификации специалистов в области железнодорожного транспорта, таких как машинисты, диспетчеры, инженеры и другие. Для этого используются различные формы и методы, такие как лекции, семинары, практикумы, тренажеры, компьютерные игры и другие. Математическая модель позволяет демонстрировать и объяснять различные явления и закономерности, связанные с динамикой подвижного состава, а также развивать и проверять знания, умения и навыки, необходимые для работы с подвижным составом.
Особое внимание уделяется математическому анализу, ведь именно на основе его строится математическая модель.
Математический анализ железнодорожного подвижного состава - это раздел прикладной математики, который изучает свойства и поведение подвижного состава на железнодорожных путях. Особенности этого анализа заключаются в следующем:
- Подвижной состав представляет собой сложную механическую систему, состоящую из множества тел, связанных между собой различными видами соединений (например, буферы, сцепки, тормозные устройства и т.д.);
- Подвижной состав взаимодействует с железнодорожным путем, который также является динамической системой, подверженной воздействию различных факторов (например, неровности, износ, температура и т.д.);
- Подвижной состав и железнодорожный путь образуют совместную систему, которая подчиняется законам механики, электричества, теплоты и других физических явлений;
- Математический анализ подвижного состава и железнодорожного пути требует применения различных методов и моделей, таких как дифференциальные уравнения, интегральные уравнения, матричные уравнения, вероятностные уравнения, статистические уравнения и т.д.;
- Математический анализ подвижного состава и железнодорожного пути имеет важное практическое значение для обеспечения безопасности, эффективности и экономичности железнодорожных перевозок.
Таким образом, математическая модель железнодорожного подвижного состава имеет широкий спектр задач, которые способствуют развитию и совершенствованию железнодорожного транспорта. Для решения этих задач необходимо использовать различные методы и инструменты, такие как аналитические, численные, графические, экспериментальные и другие.
Общая схема построения математической модели железнодорожного подвижного состава, состоящей из трех основных блоков: модели локомотива, модели вагона и модели железнодорожного пути. Математическая модель позволяет проводить анализ и оптимизацию параметров подвижного состава, а также прогнозировать его работоспособность и безопасность. Математическая модель может быть построена на различных уровнях сложности, в зависимости от целей исследования и доступности исходных данных. Также они помогают анализировать и оптимизировать различные аспекты динамики подвижного состава, такие как устойчивость, комфорт, безопасность, энергоэффективность и износ. Данный вид моделей также помогают разрабатывать и тестировать новые виды подвижного состава, такие как скоростные поезда, метро, трамваи и др.
1. Антонов, А. А. Методы математического моделирования в технике: учебник для вузов / А. А. Антонов. – М.: Высшая школа, 2017. – С. 328 ;
2. Еремин, М. М. Математические модели функционирования и развития железнодорожного транспорта / М. М. Еремин, А. С. Капустина // Научная и прикладная информатика. – 2018. – № 3. – С. 61-65;
3. Исмаилов, И. Д. Методы расчета коэффициента массы безоткатного устройства силового груза поезда / И. Д. Исмаилов, В. В. Поздняков, К. С. Трофимов // Тягово-разъемные и погрузочно-разгрузочные машины. – 2019. – № 7. – С. 87-91;
4. Лукьянцев, С. В. Цифровые технологии в транспортных системах: учебник / С. В. Лукьянцев, Т. М. Горобина. – М.: Юрайт, 2020. – С. 264;
5. Никольский, А. П. Математическое моделирование движения грузовых поездов с учетом динамики составов / А. П. Никольский, В. В. Сердюков // Вестник Донской железной дороги. – 2017. – № 4. – С. 56-60;
6. Ожередов, М. К. Математическое моделирование способа регулирования состава силовых грузов грузового поезда / М. К. Ожередов, А. П. Скрылев // Научнопрактический журнал "Транспорт и технология ремонта". – 2016. – № 1. – С. 85-89.
