Интеграл 5/2020

Posted by adminwp

DOI 10.24411/2658-3569-2020-10105

Эффективная теплоёмкость слоистых структур

Effective heat capacity of layered structures

Старков Александр Сергеевич, кандидат физ.-мат. наук, доцент, Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики

Пахомов Олег Всеволодович, кандидат технических наук, доцент, Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики

Старков Константин Александрович, ассистент, Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики

Власов Юрий, преподаватель кафедры электротехники и вычислительной техники, колледж машиностроения и вычислительной, Флоридский международный университет

Starkov Alexander Sergeevich, Candidate Phys.-Math. Sciences, docent, Petersburg National Research University of Information Technologies, Mechanics and Optics

Pakhomov Oleg Vsevolodovich, candidate of technical sciences, docent, Saint Petersburg National Research University of Information Technologies, Mechanics and Optics

Starkov Konstantin Alexandrovich, assistant, Saint Petersburg National Research University of Information Technologies, Mechanics and Optics

Vlasov Yuri, PhD, Instructor Department of Electrical and Computer Engineering, College of Engineering and Computing Florida International University

Аннотация. Эффективная теплоёмкость слоистых структур. В данной статье рассматриваются характеристики материалов, имеющих слоистую структуру, которая позволяет использовать на практике эффективную теплоемкость отдельных слоев. В приведенном материале рассматриваются теплофизические свойства таких материалов как алюминий, висмут, сталь, медь, никель и т.д. При этом учёт термоупругости приводит к увеличению эффективной теплоёмкости как в случае одного слоя, так и в случае многослойных систем, это обусловлено преобразованием тепловой энергии в упругую.

Summary. Effective heat capacity of layered structures. This article discusses the characteristics of materials with a layered structure, which makes it possible to use in practice the effective heat capacity of individual layers. The given material considers the thermophysical properties of such materials as aluminum, bismuth, steel, copper, nickel, etc. In this case, taking thermoelasticity into account leads to an increase in the effective heat capacity both in the case of one layer and in the case of multilayer systems, this is due to the conversion of thermal energy into elastic energy.

Ключевые слова: термоупругость, структура, теплоемкость, слоистость, энергия. 

Keywords: thermoelasticity, structure, heat capacity, layering, energy.

Слоистые структуры привлекают к себе пристальное внимание благодаря своим свойствам, которые могут отличаться от свойств отдельных слоев С. В последние годы интерес к ним увеличился благодаря возможности их использования в твердотельных охладителях [1]. Одной из важных характеристик таких структур является их эффективная теплоемкость С. Обычно при расчёте теплофизических свойств полагают, что теплоёмкость есть аддитивная величина, т.е. теплоёмкость структуры, состоящей из двух или большего числа объектов, есть сумма теплоёмкостей составляющих. Если же допустить возможность преобразования тепловой энергии в упругую или электрическую, то принцип аддитивности может нарушаться. Подобное преобразование происходит в термоупругих и электрокалорических материалах. Ввиду того, что термоупругие материалы используются гораздо чаще, чем электрокалорические, то исследуем случай структуры, состоящей из термоупругих слоёв. Теплоёмкость будем определять следующим образом. Пусть слоистая структура находится при температуре Т0. В момент времени t=0 поместим её между двумя полупространствами с температурой T0+T1. Спустя достаточно большой промежуток времени температура структуры сравняется с температурой окружающей среды, т.е. увеличится на T1. При этом через границы структуры пройдёт теплота Q. Отношение Q к T1 даст нам искомую теплоёмкость. Для подсчёта Q обратимся к строгой постановке задачи.

Рассмотрим слоистую структуру, состоящую из Nтермоупругих слоев. Границы слоёв декартовой системе координат задаются уравнениями z=zn, n=1,2,..N(z0=0,zN=H). Толщину слоя с номером n обозначим через hn Каждый слой характеризуется теплоёмкостью Cn, теплопроводностью λn, коэффициентам линейного расширения an, модулем упругости En, коэффициентом Пуассона , плотностью pn.

Помимо перечисленных величин будем также использовать модуль сдвига Gn, модуль упругости C33n и коэффициент термоупругости βn, которые связаны с исходными коэффициентами соотношениями

В дальнейшем индекс n, указывающий на принадлежность величины слою с номером n, будем опускать, если это не будет приводить к неоднозначным выражениям. Тепловое и упругое поле будем описывать температурой  (отклонением температуры от начальной T0) и вектором смещения u={u1,u2,u3}Система уравнений термоупругости имеет вид

На границах между слоями должны быть непрерывны температура, тепловой поток, а также нормальные компоненты вектора смещения и тензора напряжений

Здесь символ [X]z=zn, означает скачок величины X при переходе через границу z=zn, а

Есть тензор деформаций, x1=x,x2=y,x3=z

— символ Кронtкера. В качестве начальных условий выберем нулевые

Внешние границы считаем свободными от напряжений, а температуру на них заданной величиной

Условия (1)-(5) позволяют полностью определить зависимость температуры и смещений от времени и координаты, и, следовательно, и искомое количество теплоты Q. Для того, чтобы избежать трудностей решения задачи (1)-(5) избавимся от временной зависимости. Проинтегрируем уравнение (1) по времени и введём новую независимую переменную

Сходимость интеграла в (6) вытекает из достаточно быстрого стремления температуры структуры T к своему предельному значению T1. Так как T1 есть максимальное значение температуры T, то интегральная температура Qотрицательная, Q<0. В результате интегрирования по времени уравнения (1) с учётом начальных условий (4) получаем уравнение для нахождения Q

Вектор смещений u1 есть предельное значение u при t>∞, вызванное повышением температуры на T1. Так как установившееся со временем значения температуры не зависит от координаты и в каждой точке равно температуре окружающей среды T1 ,а внешние границы свободны от напряжений, то повышение температуры приводит к равномерному увеличению всех размеров структуры. Возникающая при этом деформация u1 пропорциональна изменению температуры T1 и расстоянию до начала координат, а

Температура T, следовательно, и интегральная температура Q зависят только от одной координаты z. Это позволяет с учётом равенства (8) переписать уравнение (7) в виде

Проинтегрируем уравнение (7) по переменной z пределах от 0 до . Нетрудно проверить, что интеграл от левой части равен интегральному тепловому потоку, т.е. количеству теплоты Q, прошедшему через границы структуры. Правая часть в (9) является кусочно-постоянной функцией координаты z: она постоянна в пределах каждого слоя. В результате интегрирования получаем выражение для эффективной теплоёмкости

где введено обозначение

Результаты расчётов величины △С для различных материалов представлены в таблице, при n=3.

Обсудим полученные формулы (10) и (11). Если коэффициенты линейного расширения an=0,то получаем хорошо известный результат C: удельная эффективная теплоёмкость слоистой структуры есть взвешенные среднее удельных теплоёмкостей слоёв с весами, пропорциональными толщине слоя. Если же an ≠0, то в правой части (10) появляется дополнительное слагаемое △С, которое описывает изменение теплоёмкости, вызванное термоупругостью. Это слагаемое всегда будет положительно, так как коэффициенты a и β всегда имеют разный знак и aβ<0. Напомним, что коэффициент линейного расширения a может быть как положительным, так и отрицательным. Значит, учёт термоупругости приводит к увеличению эффективной теплоёмкости как в случае одного слоя, так и в случае многослойных систем. Объясняется это увеличение преобразованием тепловой энергии в упругую. Если термоупругое тело получает теплоту Q, то оно нагревается до меньшей температуры, чем не термоупругое с той же теплоёмкостью, так как только часть тепла идёт на нагревание. Изменение теплоемкости △С, вызванное термоупругостью, пропорционально начальной температуре T0 и квадрату коэффициента линейного расширения a. Так как для большинства веществ a≈10-6 , то увеличение теплоёмкости △С является малым и составляет доли процента от теплоемкости C (см. Таблицу). Если ввести модифицированную теплоёмкость Cg=C-3aβT, то эта величина, как следует из (10),(11) будет аддитивной, т.е. модифицированная теплоёмкость для двуслойной системы будет равна сумме модифицированных теплоёмкостей отдельных слоёв. Имеющаяся неаддитивность теплоёмкости, выведенная для некоторых слоистых систем [2], объясняется анизотропией слоёв. Таким образом, учёт упругих взаимодействий приводит к изменению температурной зависимости теплоёмкости, а при наличии анизотропии — к неаддитивности самой теплоёмкости.

Литература

  1. Еськов, А. В., Карманенко, С. Ф., Пахомов, О. В., Старков, А. С. (2009). Моделирование твердотельного охладителя с электрокалорическими элементами. Физика твердого тела, 51(8), 1483-1486.
  2. Еськов А. В. и др. Моделирование твердотельного охладителя с электрокалорическими элементами //Физика твердого тела. – 2009. – Т. 51. – №. 8. – С. 1483-1486.
  3. Старков, А. С., Кудрявцева, И. В., Старков, К. А., &Корзенков, К. В. (2017). Расчет эффективных параметров термоэлектромагнито-упругих слоистых сред. Журнал технической физики, 87(7), 1027.
  4. Sapronova, D., Dolgih, A., Tsoi, M., & Sapronov, V. (2020). Specifics of propagation of coniferous plants in nurseries of the federal research center of agroecology of the russian academy of sciences. World Ecology Journal, 10(2), 18-55. https://doi.org/10.25726/worldjournals.pro/WEJ.2020.2.2
  5. Khuzhakhmetova, A. (2019). Ecological plasticity of nut crops of the collections of the federal scientific center for agroecology RAS. World Ecology Journal, 9(1), 105-115. https://doi.org/https://doi.org/10.25726/NM.2019.40.59.006
  6. Taran, S., & Kolganova, I. (2018). Optimization of park plantings in the regions of Rostov-on-Don and Novocherkassk by introducing into gardening species of the genus ACER L. World Ecology Journal, 8(3), 56-70. https://doi.org/https://doi.org/10.25726/NM.2019.31.46.004

References

  1. Es`kov, A. V., Karmanenko, S. F., Paxomov, O. V., Starkov, A. S. (2009). Modelirovanie tverdotel`nogo oxladitelya s e`lektrokaloricheskimi e`lementami. Fizika tverdogo tela, 51(8), 1483-1486.
  2. Es`kov A. V. i dr. Modelirovanie tverdotel`nogo oxladitelya s e`lektrokaloricheskimi e`lementami //Fizika tverdogo tela. – 2009. – T. 51. – №. 8. – S. 1483-1486.
  3. Starkov, A. S., Kudryavceva, I. V., Starkov, K. A., &Korzenkov, K. V. (2017). Raschet e`ffektivny`x parametrov termoe`lektromagnito-uprugix sloisty`x sred. Zhurnal texnicheskoj fiziki, 87(7), 1027.
  4. Sapronova, D., Dolgih, A., Tsoi, M., & Sapronov, V. (2020). Specifics of propagation of coniferous plants in nurseries of the federal research center of agroecology of the russian academy of sciences. World Ecology Journal, 10(2), 18-55. https://doi.org/10.25726/worldjournals.pro/WEJ.2020.2.2
  5. Khuzhakhmetova, A. (2019). Ecological plasticity of nut crops of the collections of the federal scientific center for agroecology RAS. World Ecology Journal, 9(1), 105-115. https://doi.org/https://doi.org/10.25726/NM.2019.40.59.006
  6. Taran, S., & Kolganova, I. (2018). Optimization of park plantings in the regions of Rostov-on-Don and Novocherkassk by introducing into gardening species of the genus ACER L. World Ecology Journal, 8(3), 56-70. https://doi.org/https://doi.org/10.25726/NM.2019.31.46.004

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *